Berechnungen

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Allgemeines

Berechnungen werden in mehreren Bereichen der Frageerstellung verwendet und bilden die Basis für Berechnungsfrage und Mehrfachberechnungsfrage.

Alle Berechnungen unterstützen Einheiten und symbolische Auswertung.

Grundsätzlicher Aufbau der Ergebnis-Berechnung einer berechnenden Frage

Schema der Berechnung

Die Berechnung und die Beurteilung einer Frage teilt sich in 3 grundsätzliche Schritte:

  • Berechnnug der Lösung aus den Maxima-Feldern
  • Berechnung des Ergebnisses durch Einsetzen der Datensätze
  • Beurteilung der Schülereingabe durch Vergleich mit dem Ergebnis

Konstante

Alle Konstante welche in Letto definiert sind beginnen mit einem Prozentzeichen. Verwendet man den Variablennamen ohne Prozenzzeichen, so wird die Konstante wie eine Variable mit dem Wert der Konstanten verwendet.

Liste der definierten Konstanten:

Name Wert Beschreibung
 %i i komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
 %j i komplexer Parameter als Lösung der Gleichung x^2=-1
 %e 2.718281828459045 Eulersche Zahl
 %pi 3.141592653589793 Kreiszahl
 %mu0 magnetische Feldkonstante 4*%pi*1E-7'Vs/Am'
 %m0 magnetische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden) 4*%pi*1E-7'Vs/Am'
 %epsilon0 elektrische Feldkonstante 8.85418781762039E-12'As/Vm'
 %e0 elektrische Feldkonstante (alt, wird bald entfernt werden) 8.85418781762039E-12'As/Vm'
 %c0 Lichtgeschwindigkeit 299792458'm/s'
 %Qe Elementarladung 1.602176620898E-19As
 %g Erdbeschleunigung 9.81'm/s^2'
 %NA Avogadro Konstante 6.02214085774E23/mol
 %k Stefan Bolzman Konstante 1.3806485279E-23'J/K'
 %R0 Universelle Gaskonstante 8.314459848'J/Kmol'
 %h planksches Wirkungsquantum 6.6260704081E-34Js

Berechnung mit Maxima

  • Maxima wird nur für symbolische Berechnungen bei der Erstellung von Beispielen verwendet. Hierbei wird, wie schon oberhalb im Schema angegeben, zuerst die Moodle.mac geladen, dann das Maxima-Feld berechnet und anschließend die Maxima-Felder aller Teilfragen. Das Ergebnis der Berechnung wird dann als symbolischer Ausdruck im Lösungfeld eingetragen.
  • Da zum Zeitpunkt der Maxima-Berechnung keine Datensätze vorhanden sind, kann keine numerische Berechnung in Maxima durchgeführt werden, welche die Datensätze benötigt. Dies muss der interne Parser zum Zeitpunkt des Online-Test-Laufes erledigen. Numerische Berechnungen, welche der interne Parser nicht kann können deshalb auch nicht mit Maxima berechnet werden.
  • Da das Lösungsfeld, welches mit Maxima berechnet wird symbolisch ausgewertet wird, können in Maxima sämtliche symbolischen Berechnungsverfahren angewendet werden, welche ein symbolisches Ergebnis liefern und keine numerischen Werte der Datensätze benötigen.

Berechnung mit dem internen Parser

  • Der interne Parser kann durch Wahl der Checkbox "Parser" anstatt von Maxima für die Berechnung des Maxima-Feldes verwendet werden.
  • Jedenfalls wird der Parser zur Test-Laufzeit für die Berechnung des Ergebnisses einer Frage aus Lösung und Datensätzen und zum Berechnen der Schülereingabe verwendet.

Operatoren

Infix Operatoren

arithmetische Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
+ 40 Addition 4+5 9
- 40 Subtraktion 6-2 4
* 50 Multiplikation 4*5 20
/ 51 Division 20/4 5
 % 51 Divisionsrest 104%20 4
/ / 60 Parallelschaltung x / / y x*y/(x+y)
^ 90 Potenz 2^3 8
.*. 200 Operator der intern für eine fehlende bindende Multiplikation verwendet wird 4x 4*x

Bitoperatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
20 Bitweise ODER 5 13
or 20 Bitweise ODER 9 or 5 13
& 21 Bitweise UND 13&10 8
and 21 Bitweise UND 13 and 10 8
xor 22 Bitweise exklusiv oder XOR 13 xor 10 7
imp 23 Bitweise impliziert IMP 13 imp 10 8
<< 35 Bitweise links schieben 5<<2 20
>> 35 Bitweise rechts schieben 8>>2 2

Vergleichsoperatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel
= 3 Gleichungsoperator x=y
== 30 Gleichungsoperator x==y
 != 30 Ungleichungsoperator x!=y
< 32 Kleiner x<y
<= 32 Kleiner gleich x<=y
> 32 größer x>y
>= 32 größer gleich x>=y

Organisative Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
, 0 Listen-Trennzeichen x,y
$ 1 Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
 ; 1 Trennzeichen zwischen mehreren Berechnungen
 : 2 Zuweisung an eine Variablen auf der linken Seite x:5

Prefix Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
+ 45 positives Vorzeichen +5 5
- 45 negatives Vorzeichen -(-5) 5
~ 95 bitweise Inversion einer 64bit-Ganzzahl ~0x0F0F 0xFFFFFFFFFFFFF0F0
 ! 120 logisches NOT  !(3<4) false
++ 130 Inkrement von Ganzzahlen ++x erhöht x um eins und gibt das Ergebnis nach der Erhöhung zurück
-- 130 Dekrement von Ganzzahlen --x vermindert x um eins und gibt das Ergebnis nach der Verminderung zurück
 % 200 Prefix für Namen, welche als Konstante definiert sind  %pi 3.141592653589793

Suffix Operatoren

Operator Priorität Beschreibung Beispiel Ergebnis
++ 135 Inkrement von Ganzzahlen x++ erhöht x um eins und gibt den Variablenwert vor der Erhöhung zurück
-- 135 Dekrement von Ganzzahlen x-- vermindert x um eins und gibt den Variablenwert vor der Verminderung zurück

Klammern

  • () runde Klammern werden für mathematische Ausdrücke zur Klammerung verwendet
  • {} geschwungene Klammer werden im Angabetext für die Namen der Datensätze verwendet
  • [] eckige Klammern werden für Vektoren und Matrizen verwendet

Funktionen

Funktionen für Ganzzahlen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
band bitweises UND band(4,12) 4
bor bitweises ODER bor(4,1) 5
bxor bitweises EXKLUSIV ODER band(4,5) 1
bimp bitweises Parameter1 impliziert Parameter2 bimp(13,10) 8
binv bitweises NICHT mit 8 bit binv(0x0F) 0xF0
shl Schiebe Ganzzahl bitweise nach links shl(8,2) 32
shr Schiebe Ganzzahl bitweise nach rechts shr(8,2) 2
div Ganzzahldivision, Ergebnis wird abgeschnitten div(5,2) 2
mod Modulo: Divisionsrest einer Ganzzahldivision mod(5,2) 1
inv8 bitweise Invertieren und die letzten 8 Bit bestimmen inv8(0b1001) 0b11110110
inv16 bitweise Invertieren und die letzten 16 Bit bestimmen inv16(0xF0) 0xFF0F
inv32 bitweise Invertieren und die letzten 32 Bit bestimmen inv32(0xF0) 0bFFFFFF0F
inv64 bitweise Invertieren und die letzten 64 Bit bestimmen inv64(0xF0) 0bFFFFFFFFFFFFFF0F
byte Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 8bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren byte(34.2) 34
word Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 16bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren word(34.2) 34
int Zahl in eine Ganzzahl wandeln und die letzten 32bit der Zahl Abschneiden, Einheit geht verloren int(34.2) 34
long Zahl in eine Ganzzahl wandeln , Einheit geht verloren long(34.2) 34
parity Paritätsberechnung parity(even,7,"xy")
blockparity Kreuz oder Blockparität blockparity(even,7,3,"abc")
bcd Wandelt in eine Long-Zahl in ein Feld aus BCD-kodierten Zahlen um bcd(124) [1,2,4]
code Code aus mehreren Codeworten zusammensetzen code(5,4,3,5) 0b1000001100101
hamming Bestimmt den Hamming-Abstand von mehreren Codeworten hamming(1,2,4,8,16) 2
komplement Bildet das Zweierkomplement mit einer negativen Zahl mit einer bestimmten Bitanzahl, fehlt die Bitanzahl, so wird ein 32Bit-2er-komplement gebildet komplement(-5,8) 0b11111011

boolsche Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
ge größer gleich ge(6,4) true
le kleiner gleich le(6,4) false
gt größer gt(6,4) true
lt kleiner lt(6,4) false
between prüft ob Parameter1 kleiner als Parameter2 und Parameter2 kleiner als Parameter 3 between(3,4,5) true
land logisches UND land(a<b,b<c)
lor logisches ODER lor(a<b,b<c)
not logisches NICHT not(a<b)

arithmetische Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
double Zahl ein eine Gleitkommazahl umwandeln, die Einheit geht dabei verloren double(3.4V) 3.4
numeric verwirft die Einheit, wenn eine vorhanden ist und liefert nur den Zahlenwert numeric(2.3A) 2.3
cround Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet cround(23.535,2) 23.54
round Rundet die Zahl kaufmännisch, der zweite Parameter gibt die Anzahl der Kommastellen an, ohne 2.Parameter wird auf Ganzzahlen gerundet round(23.535,2) 23.54
ground Rundet die Zahl auf die im zweiten Parameter angegebenen gültigen Ziffern ground(2453.43,2) 2500
floor Rundet auf die größte ganze Zahl, welche kleiner oder gleich x ist floor(24.5) 24
trunc Schneidet die Zahl nach dem Komma ab trunc(24.5) 24
ceiling ceiling(x) Rundet auf die kleinste ganze Zahl, welche größer oder gleich x ist ceiling(13.2) 14
pow Potenzfunktion pow(2,3) 8
par Parallelschaltung von Widerständen par(x,y) x*y/(x+y)
min Minimum von mehrere Werten suchen min(3,5,1) 1
max Maximum von mehreren Werten suchen max(3,5,1) 5
random Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich random(minimal,maximal) random(2,8) 3.4532
randomC komplexe Zufallszahl aus einem definierten Zahlenbereich für den Betrag randomC(2,8) 3.4532arg40.3°
sigma Sprungfunktion: sigma(x) liefert 0 für x<0 und 1 für x>=0 sigma(243.3) 1

Stringfunktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
dechex Zahl in eine Ganzzahl wandeln und als Hexadezimal-String ausgeben dexhex(12) "0xC"
chr Bestimmt die Zeichen mit dem ASC-II-Code der Long-Parameter und setzt daraus einen String zusammen. chr(0x65,105) "ei"
val Bestimmt den ASC-II-Code des ersten Zeichens welches als String-Parameter übergeben wurde. val("a") 97

trigonometrische Funktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
sin Sinus sin(%pi/2) 1

Exponentialfunktionen

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
pow Potenzfunktion pow(2,3) 8

Algebra

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
matrix erzeugt aus mehreren gleich langen Vektoren eine Matrix matrix([1,2],[3,4]) [[1,2],[3,4]]

Auswertung und Programmierung

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
ev Auswertung eines Ausdruckes, als Parameter können Gleichungen angegeben werden, welche dann in den Ausdruck eingesetzt werden ev(x*y,y=4) x*4
if Bedingungsfunktion if(bedingung,wahrwert,falschwert) if(4<6,10,12) 10
wenn Bedingungsfunktion wenn(bedingung,wahrwert,falschwert). Im Prinzip identisch wie if, jedoch kann if mit Maxima nicht verwendet werden. wenn(4<6,10,12) 10
plugin Ruft die Berechnnugsmethode des Plugins, welches als erster Stringparameter angegeben werden muss auf und übergibt die weiteren Parameter an die Berechnungsmethode des Plugins. plugin("plugin1",3) führt die Berechnung des Plugins mit dem Namen "plugin1" mit dem Parameter 3 aus.
symbolic Bei allen Variablen innerhalb von symbolic werden nur nicht-numerische Werte eingesetzt! Wird vor allem im Angebtext bei {= } verwendet symbolic(x^2+2) x^2+2

Optimierung der Ausdrücke

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
opt Ausdruck wird vollständig optimiert, die Funktion wird ausgewertet und ist danach nicht mehr vorhanden opt(x+x) 2*x
noopt Ausdruck wird nicht optimiert, bleibt also so erhalten wie angegeben. Die Funktion an sich geht aber verlohren. noopt(2+3) 2+3
lopt Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck vollständig optimiert. lopt(x+3) lopt(x+3)
lnoopt Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nicht mehr optimiert. lnoopt(x+3+2) lnoopt(x+5)
loptnumeric Im Maximafeld bleibt die Funktion ohne Funktion erhalten, im Ergebnis {= wird die Funktion entfernt und in der Lösung wird nach dem Einsetzen der Werte der Ausdruck nur numerisch optimiert. loptnumeric(x+y) loptnumeric(x+y)
aopt Bei Maxima und Lösung geht die Funktion verloren, nur innerhalb von noopt bleibt sie erhalten. Bei der Anzeige führt sie zur Optimierung das Ausdruckes nach Einsetzen der Datensätze. aopt(x) x

Anzeige und Lösungsberechnung

Diese Funktionen haben entweder einen oder zwei Parameter. Der erste Parameter stellt die darzustellende Funktion dar, der zweite Parameter, welcher eine Ganzzahl sein muss, gibt an, wie die Darstellung erfolgen soll. Wird der 2.Parameter weggelassen, so wird er als 0 interpretiert.

  • 0 Bei Berechnungen hat die Funktion keine Wirkung, bleibt aber als Funktion erhalten. Bei Lösung und Anzeige wird die Funktion ausgewertet
  • 1 Wirkt nur bei Lösung, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
  • 2 Wirkt nur bei Anzeige, bei Berechnungen bleibt die Funktion erhalten
Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
viewpow Gibt alle Wurzeln als Potenzen aus, und stellt alle Potenzen im Nenner als negativen Exponenten im Zähler dar viewpow(sqrt(x)) x^(1/2)
viewsqrt Gibt Potenzen welche als Wurzel darstellbar sind auch als als Wurzeln mit der Funktion sqrt oder root aus viewsqrt(x^(1/2)) sqrt(x)

Spezialfunktionen Technik

Funktion Beschreibung Beispiel Ergebnis
color Widerstandsfarbcode berechnen.
1. Parameter muss ein Double sein
2.Parameter sind die Anzahl der Farbringe
3.Parameter ist der Modus (0..2-St,1..3St,2..Deutsch,3..2StEng,4..3StEng,5..Englisch
color(120,3,2) braun,rot,braun
parsecolor Wandelt einen String mit einem Widerstandsfarbcode in einen Double-Wert parsecolor("br-rt-br") 120
ip Wandelt eine Long-Zahl in einen String als IP-Adresse um, oder 4 Byte-Zahlen in eine Long Zahl als IP-32-bit-Adresse ip(1534536453)
ip(10,20,30,40)
"91.119.43.5"
169090600
parseip Wandelt einen String mit einer IP-Adresse in einen Long-Wert parseip("91.119.43.5") 1534536453
e12 rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert der Normreihe E12.
Die Rundung erfolgt geometrisch d.h. der Quotient zwischen Normwert und zu rundendem Wert wird minimiert.
e12(700Ohm) 680Ohm
e12up rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert der Normreihe E12 e12(670Ohm) 680Ohm
e12down rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert der Normreihe E12 e12(700Ohm) 680Ohm
ise12 prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert der Normreihe E12 ist. ise12(680Ohm) true
norm rundet einen Zahlenwert auf den nächstliegenden Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe.
Die Rundung erfolgt geometrisch wenn es sich um eine logarithmisch aufgeteilte Normreihe handelt, oder sonst linear.
norm(700Ohm,E12) 680Ohm
normup rundet einen Zahlenwert auf den nächstgrößerern Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. normup(730Ohm,[1,3,5,8]) 800Ohm
normdown rundet einen Zahlenwert auf den nächstkleineren Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe. normdown(700Ohm,E12) 680Ohm
isnorm prüft ob der als Parameter übergebenen Wert ein Wert einer gegebenen Wertereihe oder Normreihe ist. isnorm(680Ohm,E12) true

Ergebnisvorschau

Aufruf dieses Dialoges über den ClipCapIt-180904-181443.PNG-Button aus dem Toolbar.

Die Berechnungen aus dem Maxima-Feld bei der Fragendefinition können auch über den ClipCapIt-180904-182120.PNG-Button durchgeführt werden. Hier wird die Berechnung durchgeführt und das Lösungsfeld ausgefüllt, aber der Rechengang wird nicht angezeigt.

ClipCapIt-180904-181415.PNG

Beim Fehlersuchen oder bei komplexen Berechnungen kann es aber hilfreich sein, den ganzen Maxima-Lösungsweg zu sehen, dies ist über den ClipCapIt-180904-181443.PNG-Button möchlich.